تحلیل پایداری سیستمهای سوئیچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخیر زمانی و عدم قطعیت پارامتری

I S I C E مجله کنترل ISSN 28-8345 جلد 9 شماره 4 زمستان 1394 صفحه 77-85 تحلیل پایداری سیستمهای سوئیچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخیر زمانی و عدم قطعیت پارامتری Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 2 1 نصراله اعظم بالغی محمدحسين شفيعی 1 دانشجوی دکتری دانشكدۀ مهندسی برق و کامپيوتر گروه کنترل دانشگاه صنعتی شيراز n.balegh@sutech.ac. 2 استاديار دانشكدۀ مهندسی برق و کامپيوتر گروه کنترل دانشگاه صنعتی شيراز Shafe@sutech.ac. )تاريخ دريافت مقاله 1394/9/24 تاريخ پذيرش مقاله 1394/12/1( چکیده: در اين مقاله شرايط پايداری برای يک سيستم سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان در حضور عدم قطعيت پارامتری و تاخير زمانی مورد مطالعه قرار میگيرد. تاخير بهصورت متغير با زمان اما محدود فرض شده و براساس تابعیهای لياپانوف شروط کافی جهت تعيين حد باالی مجاز برای تاخير زمانی مورد جستجو قرار میگيرد. عالوه براين روش زمان سكون ميانگين که يكی از ابزارهای موثر جهت بررسی پايداری در سيستمهای سوئيچشونده است جهت استخراج اين شروط مورد استفاده قرار میگيرد. شروط بدستآمده شرايطی برای سيگنال کليدزنی مشخص میسازد که هيچ وابستگی به عدم قطعيت موجود در سيستم ندارد. درحقيقت در اين مقاله برای نخستين بار تحليل پايداری يک سيستم سوئيچشونده خطی گسستهزمان دارای تاخير و با فرض عدم قطعيت پارامتری ارائه می شود. در نهايت جهت تائيد نتايج تئوری اين مقاله يک مثال عددی آورده میشود. کلمات کلیدی: سيستمهای سوئيچشونده خطی گسستهزمان تحليل پايداری عدم قطعيت پارامتری و تاخير زمانی. Stablty Analyss of Dscete-tme Swtched Lnea Systems n the Pesence of Tme-delay and Paametc Uncetantes Nasollah Azam Balegh, Mohammad Hossen Shafe Abstact: Ths pape studes the stablty condtons of dscete-tme swtched lnea systems n the pesence of paametc uncetantes and tme-delay. The tme-vayng delay s assumed to be unknown but bounded. Based on the dscete Lyapunov functonal, suffcent condtons ae nvestgated to detemne the uppe bound of admssble tme-delay. Futhemoe, the aveage dwell tme method that s an effectve tool fo stablty analyss of swtched systems s used to deve the exponental stablty condtons. These condtons chaacteze the swtchng sgnal that does not depend on any uncetantes. Fnally, numecal example s povded to vefy the theoetcal esults. Keywods: Dscete-tme swtched lnea systems, Stablty Analyss, Paametc Uncetanty and Tme-delay. 1- مقدمه سيستمهای سوئيچشونده يكی از زيرمجموعههای پرکاربرد در بين 1 سيستمهای هيبريد بوده بهطوریکه مدلسازی دسته وسيعی از سيستمهای فيزيكی قابل ارائه در اين فرم است. از آن جمله میتوان سيستمهای الكترونيک قدرت فرآيندهای شيميايی سيستمهای کنترل شبكه صنايع اتومبيل و... را نام برد ]3-1[. اين نوع از سيستمها از 1 Hybd Systems مجله کنترل انجمن مهندسان کنترل و ابزار دقيق ايران- قطب علمی کنترل صنعتی دانشگاه صنعتی خواجه نصيرالدين طوسی نويسنده عهده دار مكاتبات: محمدحسين شفيعی

تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری 78 Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 1 تعدادی زيرسيستم که توسط يک قانون کليدزنی فعال میشوند تشكيل میشود. مدلهای خطیتبار زيرمجموعههای ديگری نيز برای سيستمهای هيبريد نظير 4 منطقی مرکب و... ارائه شدهاست ]4[. 3 2 تكهای سيستمهای مكمل مدلهای ديناميكی وجود تاخير زمانی در بسياری از سيستمهای عملی خصوصا سيستمهای سوئيچشونده امری معمول بوده که موجب ناپايداری و کاهش کارآيی در سيستمهای کنترلی میشود.]5[ سيستمهای سوئيچشوندۀ دارای تاخير زمانی کاربردهای گوناگونی در مدلسازی و کنترل سيستمهای عملی نظير سيستمهای کنترل شبكه ]6[ کنترل پرواز ]7[ فرآيند تصفيۀ آب ]9-8[ و... دارند. اصوال در مراجع دو رويكرد در مواجه با تحليل پايداری برای سيستمهای دارای تاخير زمانی مورد بررسی قرار گرفته است ]1[. در رويكرد اول که تحليل پايداری مستقل 5 از تاخير است پايداری سيستم به ازای تمامی محدودۀ تاخير زمانی ارزيابی میشود. در اين حالت هيچگونه اطالعاتی از تاخير زمانی در تحليل مورد استفاده قرار نمیگيرد. رويكرد دوم تحليل پايداری وابسته 6 به تاخير است. در اين حالت حدود باال و پايين تاخير زمانی و در بعضی حاالت تغييرات زمانی آن در تحليل پايداری مورد استفاده قرار میگيرد. رويكرد اول به دليل عدم استفاده از اطالعات مربوط به تاخير زمانی از محافظهکاری بيشتری برخوردار است ]1[. بنابراين بيشتر محققين بر روی رويكرد دوم متمرکز شده و تحليل پايداری را در اين حالت مورد بررسی قرار دادهاند ]13-11[. از جمله مهمترين روشهای رايج مورد استفاده در هر دو رويكرد در بررسی پايداری سيستمهای دارای تاخير زمانی دو 7 روش تابع لياپانوف-رزومخين میباشند. تابعی روش 8 و تابعی لياپانوف-کراسووسكی لياپانوف-کراسووسكی دارای محافظهکاری کمتری نسبت به روش لياپانوف-رزومخين بوده ]15-14[ بنابراين در طيف گستردهای از مطالعات نظير کنترل پيشبين و رديابی مورد استفاده قرار گرفته است ]16[. نكته اصلی در استفاده از روش تابعی لياپانوف- کراسووسكی ساخت تابعیهای مشخص است و مهمترين مزيتی که دارد اين است که شرايط کافی برای پايداری سيستمهای دارای تاخير زمانی را میتوان در غالب نامساویهای ماتريسی خطی بيان نمود ]17[. از سويی ديگر يكی از مسائل اساسی در تحليل پايداری و طراحی کنترلکننده مقاوم بودن آن است. وجود عدم قطعيت جزء جدايیناپذير در سيستمهای ديناميكی است. از اين رو بررسی تاثير آن بر سيستم جايگاه مهمی در علم کنترل دارد. مدلسازی تقريبی سيستمها و تغيير پارامترهای فيزيكی آنها با مرور زمان باعث بهوجود آمدن تغيير در ماتريسهای ساختار موجود در مدل سيستم میشود. عدم قطعيت 1 9 پارامتری که از نوع عدم قطعيتهای ساختاريافته است يكی از انواع مهم عدم قطعيت در سيستمها است. در سيستمهای سوئيچ شونده با توجه به اينكه از تعدادی زيرسيستم تشكيل شدهاست عدم قطعيت در هر مدل میتواند به صورت جداگانه وجود داشته باشد. دو دسته اساسی از عدم قطعيت در سيستمهای سوئيچ شونده که در مقاالت مورد بررسی قرار 11 گرفتهاند عبارتند از: عدم قطعيت چند وجهی و عدم قطعيت دارای نرم 12 محدود. عدم قطعيت پارامتری را میتوان با محافظهکاری بيشتر به عدم قطعيت چند وجهی تبديل نمود. اما اين محافظهکاری بيشتر باعث از دست رفتن اطالعات در مورد عدم قطعيت موجود در پارامترهای سيستم میشود. گرچه مقاالت زيادی در مورد دو نوع عدم قطعيت چند وجهی و عدم قطعيت نرممحدود وجود دارد ]22-18[ اما در زمينه سيستمه یا سوئيچشونده دارای عدم قطعيت پارامتری کارهای بسيار کمی صورت گرفتهاست 23[.]24- در سيستمهای سوئيچشونده بهخاطر خاصيت کليدزنی و ايجاد رفتارهای پيچيده بررسی پايداری از اهميت بااليی برخوردار است. از سال 199 تا به امروز بررسی پايداری اين نوع از سيستمها مورد توجه بسياری از پژوهشگران قرار گرفتهاست ]27-25[. عموما تا به امروز سه مساله در تحليل پايداری و طراحی برای سيستمهای سوئيچشونده مورد توجه بودهاست ]28[: 1- پيدا نمودن شرايط پايداری تحت کليدزنی دلخواه -2 شناسايی سيگنالهای کليدزنی پايدارساز برای زيرمجموعههای پايدار 3- ساخت يک سيگنال کليدزنی پايدارساز. روشهای موثر زيادی در مقاالت برای حل اين سه مساله ارائه شده است بعنوان مثال روش تابع لياپانوف چندگانه ]3-29[ روش تابع لياپانوف تكهای ]32-31[ روش تابع لياپانوف سوئيچشونده ]34-33[ و روش 13 زمان سكون ميانگين ]39-35[ از انواع مهم روشهای بررسی پايداری میباشند. در مقايسه با نتايجی که در حل مسائل اول و سوم بدستآمده است پژوهشهای کمتری در مورد حل مساله دوم برای سيستمهای سوئيچشونده دارای تاخير زمانی وجود دارد. مساله دوم به پيدانمودن سيگنالهای کليدزنی پايدارساز در سيستمهای سوئيچشوندهای میپردازد که تمامی زيرسيستمها پايدارند. اصوال اگر کليدزنی بهقدرکافی آهسته انجام گيرد پايداری سيستم تضمين میشود ]28[. همچنين میدانيم که زمان سكون و زمان سكون ميانگين دو ابزار مفيد برای بررسی آهسته بودن کليدزنیها میباشند. با استفاده از روش بررسی زمان سكون ميانگين مسالۀ پايداری برای سيستمهای سوئيچشونده پيوستهزمان و گسستهزمان دارای تاخير زمانی در ]41-4[ مورد بررسی قرار گرفتهاست. اما در زمينه سيستمه یا سوئيچشوندهای که بهصورت همزمان 9 Paametc uncetanty 1 Stuctued uncetanty 11 Polytopc uncetanty 12 Nom-bounded uncetanty 13 Aveage dwell tme method 1 Swtchng ule 2 Pecewse affne models 3 Complementaty Systems 4 Mxed logcal dynamc models 5 Delay-ndependent stablty analyss 6 Delay-dependent stablty analyss 7 Lyapunov Razumkhn functon 8 Lyapunov Kasovsk functonal Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216

79 تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 دارای عدم قطعيت پارامتری و تاخير زمانی میباشند تحقيقی صورت نگرفته است. در اين مقاله تحليل پايداری برای يک سيستم سوئيچشوندۀ گسستهزمان در حضور تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری مورد بررسی قرار میگيرد. با استفاده از تابعیهای لياپانوف و روش بررسی زمان سكون ميانگين به بررسی حل مسالۀ دوم پرداخته میشود. نوآوریهای اين مقاله را میتوان در دو حوزه بيان نمود. در اولين گام شرايط پايداری در حضور عدم قطعيت براساس نامساویهای ماتريسی خطی تعيين میشود. بهطوریکه حد باالی مجاز برای تاخير زمانی با استفاده از ساخت تابعیهای لياپانوف و استفاده از ابزار تبديل متغير حالت تعيين میگردد. در گام بعد براساس روش زمان سكون ميانگين يک کالس از سيگنالهای کليدزنی که پايداری سيستم را تضمين میکنند شناسايی میشود. در مجموع اين شروط بيان میکنند که اگر تمامی زيرسيستمها پايدار نمائی باشند و زمان سكون ميانگين برای سيگنال کليدزنی نيز از حد مشخصی بزرگتر باشد آنگاه پايداری نمائی سيستم سوئيچشونده حفظ خواهد شد. همچنين نشان داده میشود چنانچه نامساویهای ماتريسی برای يک حالت خاص دارای جواب باشند آنگاه پايداری تحت کليدزنی دلخواه نيز تضمين خواهد شد. در ادامه مقاله در بخش بعد تعريف مساله و تعدادی لم که در نتايج بعدی مورد استفاده قرار میگيرند ارائه میشود. بخش سوم که شامل نتايج اصلی اين مقاله است به بررسی شروط کافی برای پايداری پرداخته وشامل يک قضيه در همين راستا است. جهت بررسی و تائيد نتايج در بخش چهارم يک مثال عددی آورده میشود. در نهايت نتيجهگيری اين مقاله در بخش آخر ارائه میشود. 2- بیان مساله بگيريد: سيستم سوئيچشوندۀ گسستهزمان و دارای تاخير زمانی زير را در نظر S σ(k) : { x(k + 1) = A σ(k)x(k) + B σ(k) x(k d(k)) x(l) = φ(l), l = k d, k d + 1,, k )1( k حالت سيستم x(k) R n φ(l) يک تابع اوليۀ برداری زمان اوليه و d(k) که d(k) d تاخير زمانی موجود در سيستم میباشند. ماتريسهای و A B با = 1,, m ماتريسهای دارای عدم قطعيت سيستم بوده که در ادامه معرفی میشوند. همچنين m يک سيگنال کليدزنی بوده که σ(k) Z M = {1,, m} يک عدد صحيح محدود و Z مجموعه اعداد صحيح مثبت میباشند. گرفت: زيرسيستمهای مربوط به سيستم )1( را میتوان بهصورت زير در نظر که در آن ماتريسهای A و B پارامتری بوده و بهصورت زير در نظر گرفته میشوند: ماتريسهای دارای عدم قطعيت A = A + δp j E j B = B + δp j F j, ) 3(. )4( در ماتريسهای باال عدم قطعيتهای پارامتری و A و B ماتريسهايی ثابت و معين تعداد δp j [ e j, e j ] که j = 1,, B انحراف موجود مربوط به پارامتر عدم قطعيت jام در ماتريسهای A و است. ماتريسهای E j و F j ماتريسهای ساختار عدم قطعيت با پارامترهای مشخص بوده و نشان میدهند که ماتريسهای A و B تا چه حد به پارامتر عدم قطعيت δp j وابسته میباشند. هنگامی که عدم قطعيت وجود نداشته باشد ماتريسهای E j و F j صفر میباشند. تعاريف و لمهای زير در نتايج آتی مورد استفاده قرار میگيرند. زمان سكون ميانگين در سيستمهای سوئيچشوندۀ گسستهزمان بهصورت زير تعريف میشود: تعریف ]39-38[: 1 فرض کنيد برای هر k k و هر سيگنال کليدزنی σ(τ) که k < τ < k تعداد کليدزنیها با نشان داده N σ N σ N + k k شود. اگر برای يک N و > a T نامساوی T a برقرار باشد آنگاه به عنوان زمان سكون ميانگين سيگنال کليدزنی T a تعريف میشود. همچنين در اين رابطه N باند چترينگ سيگنال است. در ادامه بدون از دستدادن کليت تعريف و جهت سادگی فرض میکنيم که =.N تعریف ]41[: 2 سيستم )1( را پايدار نمائی گويند اگر برای هر شرط اوليۀ صدق کنند: (k, φ) R + C n جوابهای سيستم در رابطه زير x(k) cλ (k k ) φ L, k k ) 5( φ L = sup k d l k φ(l) > c و > 1 λ نرخ محو میباشند. لم 1 )لم شور( ]42[: نامساوی زير Q(x) S(x) [ S T (x) R(x) ] <, )6( ضريب محو و Q(x) و R(x) ماتريسهای متقارن و R(x) غيرتكين است معادل روابط زير R(x) <, Q(x) S(x)R 1 (x)s T (x) < )7( است. لم ]43[: 2 برای هر ماتريس معين مثبت P حالتهای زير معادلند: - برای هر بردار x R n داريم: > Px.x T - تمام مقادير ويژه ماتريس P مثبت هستند. S : { x(k + 1) = A x(k) + B x(k d(k)) M, x k (l) = x(k + l), l = d, d + 1,, )2( Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216

تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری 8 Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 Π 2 = ( F j ) T P F j Q E j = λe j E j = (2 + 1) برای ماتريس غيرتكين B داريم: P = B T B لم : 3 برای ماتريسهای X R n m که = 1, و هر ماتريس معين مثبت P نامساویهای زير برقرار میباشند: X T 1 PX 2 + X T 2 PX 1 X T 1 PX 1 + X T 2 PX 2 )8( و همچنين (X 1 + + X ) T P(X 1 + + X ) (X 1 T PX 1 + + X T PX ) اثبات: ماتريس H را بهصورت H X 1 T PX 1 + X 2 T PX 2 X 1 T PX 2 X 2 T PX 1 در نظر بگيريد. برطبق لم قبل میتوان ماتريس معين مثبت P را بهصورت در نظر گرفت. اکنون برای هر بردار v بردارهای - )9( P = B T B = 1,2 v BX v, را در نظر بگيريد. در اين صورت داريم: v T Hv = v 1 T v 1 + v 2 T v 2 v 1 T v 2 v 2 T v 1 = (v 1 v 2 ) T (v 1 v 2 ) بنابراين ماتريس H يک ماتريس نيمه معين مثبت خواهد بود. با بسط )1( اين ماتريس نامساوی )8( اثبات میشود. نامساوی )9( نيز با استفاده از جايگذاری نامساوی )8( قابل اثبات است. بنابراين اثبات کامل میشود. 3- تحلیل پایداری در اين بخش شروط کافی جهت پايداری سيستم سوئيچشوندۀ گسستهزمان و دارای تاخير زمانی )1( با در نظر گرفتن ماتريسهای دارای عدم قطعيت پارامتری )4(-)3( بدست میآيد. در ابتدا تخمينی از کاهش تابعی لياپانوف در نظر گرفتهشده بههمراه تبديل متغير حالت بدست میآيد. در ادامه با استفاده از تعريف زمان سكون ميانگين شروط اصلی برای پايداری سيستم مشخص میگردد. نشان داده میشود که اگر تمامی زيرسيستمها پايدار باشند و زمان سكون ميانگين برای سيگنال کليدزنی نيز از حد مشخصی بزرگتر باشد آنگاه سيستم سوئيچشوندۀ )1( با در نظر گرفتن عدم قطعيت پارامتری )4(-)3( پايدار خواهد بود. > 1 λ تغييرات در ادامه اين نتايج در قالب قضيه زير بيان میگردد. قضیه 1- که يک برای کميت مشخص ] j δp j [ e j, e که j = 1,, و هر تاخير زمانی متغير با زمان d(k) d اگر ماتريسه یا مثبت معين برای M وجود داشته باشند به نحوی که d(k) P >, Q > نامساویهای ] < ( Π 1 A P [ Π 2 B T P )11 P با B = λ d +1 B A = λa برقرار باشند آنگاه برای تابعی لياپانوف V (k) = x T (k)p x(k) + λ 2(s k) x T (s)q x(s), F j = λ d +1 e j F j و در راستای سيستم )2( داريم: )12( V (k) λ 2(k k) V (k ), k k )13( همچنين اگر ثابت 1 μ نامساویهای وجود داشته باشد به نحوی که λ ρ P α μp β, Q α μq β, α, β M )14( برقرار باشند آنگاه سيستم سوئيچشوندۀ )1( با نرخ محو که پايدار نمائی بوده و زمان سكون ميانگين سيستم ln μ ρ = + 1 2T a ln λ T a > T ln μ نيز = a است. 2 ln λ تعريف اثبات- با استفاده از تبديل حالت ξ(k) x(k) = λ (k k) و B = λ d(k)+1 B سيستم )2( را میتوان بهصورت زير در نظر ξ(k + 1) = A ξ(k) + B ξ(k d(k)), { ξ k (l) = ξ(k + l) = λ l x k (l), M, گرفت: )15(.A = λa حال تابعی لياپانوف زير را برای سيستم باال W (k) = ξ T (k)p ξ(k) + ξ T (s)q ξ(s) میباشند. از آنجايی که d(k) d s=k+1 d(k+1) انتخاب میکنيم: )16( > P >, Q ξ T (s)q ξ(s) ξ T (s)q ξ(s) s=k+1 d(k) داريم: بنابراين برای (k) W میتوان نوشت: W (k) = W (k + 1) W (k) = ξ T (k + 1)P ξ(k + 1) ξ T (k)p ξ(k) + ξ T (k)q ξ(k) ξ T (k d(k))q ξ(k d(k)) با جايگذاری ماتريسهای دارای عدم قطعيت )4(-)3( و همچنين )17( )18( )15( در عبارت باال داريم: Π 1 = 2 (1 λ d )(A T P A ) + (E j ) T P E j P + Q, Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216

81 تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 Ω = [ A T ] P [ A B ] + [ Π 1 ] Π B T 2 W (k) = ((A + λ δp j E j ) ξ(k) δp j [ e j, e j ] + (B + λ d(k)+1 δp j F j ) ξ(k d(k))) T P ((A + λ δp j E j ) ξ(k) + (B + λ d(k)+1 δp j F j ) ξ(k d(k))) ξ T (k)p ξ(k) + ξ T (k)q ξ(k) ξ T (k d(k))q ξ(k d(k)).b A = λ d(k)+1 B = λa و با استفاده از لم 3 و در نظرگرفتن برای W (k) η T (A ) T (k) [ (B ) T ] P [ A +η T (k) [ B ]η(k) (E j ) T P E j P + Q η(k) = [ξ T (k), ξ T (k d(k))] T d(k) d )19( j = 1,, داريم: ( F j ) T P F j Q ] η(k) E j F j = λ d +1 e j F میباشند. j و = λe j E j = (2 + 1) λ > 1 B = λ d(k) d B داريم: همچنين از روابط و η T (k) [ A T ] P [ A B T B ]η(k) = ξ T (k)a T P A ξ(k) + 2ξ T (k)a T P B ξ(k d(k)) + ξ T (k d(k))b T P B ξ(k d(k)) = λ d(k) d [ξ T (k)a T P A ξ(k) + 2ξ T (k)a T P B ξ(k d(k)) + ξ T (k d(k))b T P B ξ(k d(k))] + (1 λ d d )ξ T (k)a T P A ξ(k) + (λ 2(d(k) d ) λ d(k) d )ξ T (k d(k))b T P B ξ(k d(k)) η T (k) [ A T ] P [ A B ]η(k) B T + (1 λ d )ξ T (k)a T P A ξ(k) با جايگذاری رابطۀ باال در )2( داريم: )21( W (k) η T (k) Ω η(k) )22( میشود. با استفاده از لم 1 نامساویهای )11( با عبارت < Ω معادل بنابراين در صورت برقراری اين نامساویها عبارت (k) W را میتوان نتيجه گرفت که داللت بر اين دارد که به V (k) = λ 2(k k ) ξ T (k)p ξ(k) ازای هر k k داريم: ). W (k) W (k همچنين از تابعی لياپانوف )12( داريم: + λ 2(s k) λ 2(s k ) ξ T (s)q ξ(s) = λ 2(k k ) ξ T (k)p ξ(k) +λ 2(k k ) ξ T (s)q ξ(s) = λ 2(k k ) W (k) ) W (k ) = V (k داريم: از استفاده با اين واقعيت که )23(.λ 2(k k ) V (k) = W (k) W (k ) = V (k ) لذا میتوان نتيجه گرفت که V (k) λ 2(k k) V (k ) )24( حال تابعی لياپانوف زير را برای سيستم )1( انتخاب میکنيم: V σ(k) (k) = x T (k)p σ(k) x(k) + λ 2(s k) x T (s)q σ(k) x(s) )25( > P >, Q جوابهای نامساویهای )11( و )14( σ(τ) اعداد σ(τ) k 1 میباشند. برای عدد صحيح مشخصکنندۀ و سيگنال کليدزنی لحظات کليدزنی برای k 1 < < k t k < τ < k میباشند. همچنين مجموعه {x(k ); (, k ), ( 1, k 1 ),, ( t, k t ), ( t+1, k)} مشخصکنندۀ دنباله کليدزنی است بدين معنی که زيرسيستم ام j هنگامی که j+1 k j < τ < k فعال است. حال اگر نامساویهای )11( برقرار باشند با استفاده از تخمين کاهشی )24( داريم: V (k) λ 2(k kt) V (k t ) )26( همچنين با استفاده از روابط )14( برای تابعی لياپانوف )25( داريم: V σ(kt )(k t ) = x T (k t )P σ(kt )x(k t ) k t 1 + λ 2(s k t ) x T (s)q σ(kt )x(s) s=k t d(k) x T (k t )μp σ(kt 1)x(k t ) k t 1 + λ 2(s k t ) x T (s)μq σ(kt 1)x(s) s=k t d(k) = μv σ(kt 1)(k t ) )27( )2( Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216

تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری 82 Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 از رابطۀ باال و رابطه ) t 1 σ(k t 1) = σ(k داريم: بنابراين با استفاده V σ(k) (k) λ 2(k k t ) V σ(kt )(k t ) λ 2(k k t ) μv σ(kt 1)(k t ) λ 2(k k t ) λ 2(k t k t 1 ) μv σ(kt 1 )(k t 1 ) با تكرار k t از t 1 k تا k داريم: )28( V σ(k) (k) λ 2(k k ) μ N σv σ(k )(k ) )29( همچنين با استفاده از تعريف زمان سكون ميانگين داريم: V σ(k) (k) λ 2(k k ) λ N lnμ σlnλ V σ(k )(k ) = λ 2(k k ) λ 2(k k ) N σ lnμ lnμ 2(k k ) λ 2(k k )( 2T a lnλ +1) V σ(k )(k ) = (λ ρ ) 2(k k ) V σ(k )(k ) lnλ V σ(k )(k ) ln μ + 1 = ρ 2T a ln λ است. بنابراين از نامساوی باال داريم: β 1 x(k) 2 V σ(k) (k) V σ(k) (k) (λ ρ ) 2(k k ) V σ(k )(k ) (λ ρ ) 2(k k ) β 2 φ L 2 )} β 2 = max M {λ max (P )} + d max M {λ max (Q و x(k) β 2 β 1 (λ ρ ) (k k ) φ L )} β 1 = mn M {λ mn (P میباشند. در نتيجه رابطۀ را = a T a > T و ln μ 2 ln λ )3( )31( میتوان نتيجه گرفت. از سويی ديگر شرط > 1 λ تضمين میکند که > 1 ρ λ باشد. بنابراين با استفاده از تعريف 2 نتيجه میگيريم که سيستم )1( پايدار نمائی بوده و لذا اثبات کامل میشود. توضیح 1- نامساویهای )11( وابسته به حد باالی تاخير زمانی d و نرخ محو λ میباشند. چنين شرطی با استفاده همزمان از تابعی لياپانوف و روش تبديل متغير حالت بدست آمده است. برای کميت μ در نامساویهای )14( نيز حد باالی تاخير زمانی توسط تعدادی نامساوی ماتريسی محدود شدهاست که بايستی بطور همزمان حل شوند. بنابراين برای حل مساله نمیتوان حد باالی تاخير زمانی را ماکزيمم در نظر گرفت. در اين حالت میتوان از يک الگوريتم جستجوی يکبعدی برای بدست آوردن حد باالی تاخير زمانی استفاده نمود بهطوریکه پايداری نمائی سيستم )1( نيز برقرار باشد. بنابراين در ابتدا پارامتر μ را بزرگ انتخاب میکنيم. همچنين مقدار اوليۀ d را برابر يک در نظر میگيريم. سپس اين پارامتر را يک تا جايیکه نامساویهای واحد يک واحد افزايش میدهيم )11( و )14( دارای جواب باشند. بايستی توجه داشت که حد باالی تاخير زمانی ارتباط نزديكی با نرخ محو دارد. بهطوریکه مقدار کوچكتر نرخ بزرگتری از تاخير زمانی میشود. باعث محو باالی حد به دستيابی رابطۀ نتیجه 1- نامساویهای )14( وابسته به پارامتر μ میباشند. بر طبق = a T a > T اگر نامساویها به ازای = 1 μ دارای جواب ln μ 2 ln λ باشند آنگاه سيگنال کليدزنی میتواند بهصورت اختياری انتخاب شود. در اين حالت سيستم سوئيچشوندۀ )1( در حضور عدم قطعيت پارامتری و تاخير زمانی به ازای تمامی سيگنالهای کليدزنی پايدار خواهد بود. 4- مثال عددی سيستم سوئيچشوندۀ )1( را با ماتريسهای زير در نظر بگيريد: A 1 = [.1.3δp 1.2.1 + δp 2 ] B 1 = [.1 + δp 2.1.2 ].2.4 A 2 = [ ] δp 2.1 + δp 1 B 2 = [.1.1 + δp 2 ] تغيير پارامترها در ماتريسهای باال بهصورت [.1,.1 ] 1 δp )32( و [.2,.2 ] 2 δp در نظرگرفته میشود. اين سيستم يک سيستم سوئيچشونده با دو زيرسيستم = 1,2 S, است. لذا ماتريسهای نامی A 1 = [.1.2.1 ] B 1 = [.1.1.2 ] A.2.4 2 = [.1 ] B 2 = [.1.1 ] سيستم در روابط )4(-)3( بهصورت زير میباشند: همچنين برای ماتريسهای ساختار عدم قطعيت نيز داريم: E 1 1 = [.3 ], E 2 1 = [ 1 ] E 1 2 = [ 1 ], E 2 2 = [ 1 ] F 1 1 = [ ], F 2 1 = [ 1 ] F 1 2 = [ ], F 2 2 = [ 1 ] )33( )34( Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216

83 تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 حال با استفاده از قضيه 1 به بررسی پايداری سيستم میپردازيم. نامساویهای )11( و )14( برای = 1.1 λ به ازای = 4 d و = 1 μ 1.1299.2924 P 1 = [.2924.9699 ] 1.624.82 P 2 = [.82 3.83 ].2898.742 Q 1 = [.742.5146 ].489.47 Q 2 = [.47 1.251 ] )32( دارای جوابهايی بهصورت زير میباشند: بنابراين سوئيچشوندۀ )1( سيستم با ماتريسهای تغيير و )35( پارامترهای مشخصشده به ازای 4 d(k) و سيگنال کليدزنی دلخواه پايدار نمائی است. جهت شبيهسازی عدم قطعيتهای مثال را به صورت sn(k) δp 1 =.1 و sn(k) δp 2 =.2 در نظر میگيريم. در صورتی که کليدزنی به صورت, 2 S 1, S 2, S 1, S انتخاب گردد برای تاخير زمانی = 2 d حاالت سيستم در شكل 1 نشان داده شده است. همانگونه که مشاهده میشود سيستم )1( با ماتريسهای )32( و عدم قطعيت در نظر گرفتهشده پايدار مقاوم است. شکل 1: حاالت سیستم در مثال عددی 5- نتیجهگیری عدم قطعيت پارامتری بهدليل پيچيدگیهای تحليل کمتر در مقاالت مورد بررسی قرار گرفته و عموما با تبديل به انواع ديگر عدم قطعيت تحليل پايداری سيستم انجام میشود. در اين مقاله پايداری يک سيستم سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان در حضور عدم قطعيت پارامتری و تاخير زمانی مورد بررسی قرار گرفت. تاخير زمانی و عدم قطعيت بهصورت متغير با زمان در نظر گرفته شد. در ابتدا شرايط پايداری در حضور عدم قطعيت براساس نامساویهای ماتريسی خطی تعيين شد. بهطوریکه حد باالی مجاز برای تاخير زمانی با استفاده از ساخت تابعیهای لياپانوف و استفاده از ابزار تبديل متغير حالت تعيين گرديد. در گام بعد براساس روش زمان سكون ميانگين يک کالس از سيگنالهای کليدزنی جهت تضمين پايداری سيستم شناسايی شد. مزيت تحليل ارائه شده در اين مقاله در اينست که چنانچه نامساویهای ماتريسی برای يک حالت خاص دارای جواب باشند آنگاه پايداری تحت کليدزنی دلخواه نيز تضمين خواهد شد. عالوهبر اين تحليل پايداری ارائه شده میتواند در سيستمهای بدون تاخير زمانی که بخاطر مشكالت عملی دارای تاخير در اعمال سيگنال کنترلی هستند نيز مورد استفاده قرار گيرد. مراجع [1] M. Donkes, W. Heemels, N. Wouw and L. Hetel, Stablty analyss of netwoked contol systems usng a swtched lnea systems appoach, IEEE Tans. Auto. Contol, vol. 56, no. 9, pp. 211-2115, 211. [2] M. Osh and C. Tomln, Swtched nonlnea contol of a VSTOL acaft, In Poceedngs of the 38th IEEE Confeence on Decson and Contol, pp. 2685-269, 1999. [3] S. Pettesson and B. Lennatson, Stablty of hybd systems usng LMIs: a gea-box applcaton, In Hybd Systems: Computaton and Contol, Spnge Beln Hedelbeg, pp. 381-395, 2. [4] B. De Schutte, W.P.M.H. Heemels, J. Lunze and C. Peu, Suvey of modelng, analyss, and contol of hybd systems, Handbook of Hybd Systems Contol Theoy, Tools, Applcatons, pp. 31-55, 29. [5] M.S. Mahmoud, Swtched tme-delay systems, Spnge US, 21. [6] S.L. Da, H. Ln and S.S. Ge, Robust stablty of dscete-tme swtched delay systems and ts applcaton to netwok-based elable contol, In Amecan Contol Confeence, IEEE, ACC'9, pp. 2367-2372, 29. [7] C. Shen, Y. Ban, G.M. Dmovsk, and Y.W. Jng, Robust delay-dependent stablty and stablzaton of polytopc systems wth tme-delay and ts applcaton to flght contol, Amecan Contol Confeence, IEEE, pp. 1624-1629, 28. [8] M.S. Mahmoud, Swtched delay-dependent contol polcy fo wate-qualty systems, IET contol theoy & applcatons, 3(12), pp. 1599-161, 29. [9] D. Wang, P. Sh, W. Wang and H.R. Kam, Non-fagle H contol fo swtched stochastc delay systems wth applcaton to wate qualty pocess, Intenatonal Jounal of Robust and Nonlnea Contol, 24(11), pp. 1677-1693, 214. Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216

تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری 84 Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 and Technology, vol. 12, no. 6, pp. 1187-1197, 214. [23] M.A. Baghezadeh, J. Ghasa, J. Aska, and M. Moj, Robust Stablzaton of Swtched Lnea Systems, Based on State Obseve Dwell Tme, Jounal of Contol, (In pesan), Vol. 8, No. 4, Wnte 215. [24] M.A. Baghezadeh, J. Ghasa, and J. Aska, Exponental Stablty of Uncetan Swtched Lnea Systems, Ianan Jounal of Scence and Technology Tansactons of Electcal Engneeng 39, pp. 79-91, 215. [25] D. Lbezon, Swtchng n systems and contol, Boston, MA: Bkhause, 23. [26] Z.D. Sun, and S.S. Ge, Swtched lnea systems contol and desgn, Spnge, 24. [27] H. Ln and P.J. Antsakls, Stablty and stablzablty of swtched lnea systems: A suvey of ecent esults, IEEE Tansactons on Automatc Contol, 54(2), pp. 38 322, 29. [28] D. Lbezon, Basc Poblems n stablty and desgn of swtched systems, IEEE Contol Systems Magazne, 19(5), pp. 59-7, 1999. [29] M.S. Bancky, Multple Lyapunov functons and othe analyss tools fo swtched and hybd systems, IEEE Tansactons on Automatc Contol, 43(4), pp. 475-482, 1998. [3] N.H. EI Faal, P. Mhaska and P.D. Chstofdes, Output feedback contol of swtched nonlnea systems usng multple Lyapunov functons, Systems and Contol Lettes, 54(1), pp. 1163-1182, 25. [31] M. Johansson and A. Rantze, Computaton of pecewse quadatc Lyapunov functons fo hybd systems, IEEE Tansactons on Automatc Contol, 43(4), pp. 555-559, 1998. [32] M.A. Wcks, P. Peletes and R.A. De Calo, Constucton of pecewse Lyapunov functons fo stablzng swtched systems, In Poceedngs of the 33d IEEE confeence on decson and contol, pp. 3492-3497, 1994. [33] J. Daafouz, P. Rednge and C. Iung, Stablty analyss and contol synthess fo swtched systems: A swtched Lyapunov functon appoach, IEEE Tansactons on Automatc Contol, 47(11), pp. 1883-1887, 22. [34] D.S. Du, B. Jang, P. Sh and S.S. Zhou, H flteng of dscete-tme swtched systems wth state delays va swtched Lyapunov functon appoach, IEEE Tansactons on Automatc Contol, 52(8), pp. 152-1525, 27. [1] Wu, M., He, Y. and She, JH., Stablty analyss and obust contol of tme-delay systems. Scence Pess/Spnge, Bejng/Beln, 21. [11] P. Yan and H. Ozbay, Stablty analyss of swtched tme delay systems, SIAM Jounal on Contol and Optmzaton, vol. 47, no. 2, pp. 936 949, 28. [12] S. Km, S.A. Campbell and X.Z. Lu, Stablty of a class of lnea swtchng systems wth tme delay, IEEE Tansactons on Ccuts and Systems, vol. 53, no.2, pp. 384 393, 26. [13] V.N. Phat and K. Ratchagt, Stablty and stablzaton of swtched lnea dscete-tme systems wth nteval tme-vayng delay, Nonlnea Analyss: Hybd Systems, vol. 5, no. 4, pp. 65 612, 211. [14] E. Fdman, M. Dambne and N. Yeganefa, On nput-to-state stablty of systems wth tme-delay: a matx nequaltes appoach, Automatca, 44(9), pp. 2364 2369, 28. [15] P. Pepe and Z.P. Jang, A Lyapunov Kasovsk methodology fo ISS and ISS of tme-delay systems, Systems and Contol Lettes, 55(12), pp. 16 114, 26. [16] Y. Xa, L. L, G. Lu and P. Sh, H pedctve contol of netwoked contol systems, Intenatonal Jounal of Contol, 84(6), pp. 18 197, 211. [17] E. Fdman, Intoducton to tme-delay systems: Analyss and contol, Spnge, 214. [18] Y.G. Sun, L.Wang and G. Xe, Delay-dependent obust stablty and stablzaton fo dscete-tme swtched systems wth mode-dependent tmevayng delays, Appled Mathematcs and Computaton, vol. 18, no. 2, pp. 428-435, 26. [19] J. Lu, X. Lu and W.C. Xe, Delay-dependent obust contol fo uncetan swtched systems wth tme-delay, Nonlnea Analyss: Hybd Systems 2, no. 1, pp. 81-95, 28. [2] M. Rajchakt, and G. Rajchakt, LMI appoach to obust stablty and stablzaton of nonlnea uncetan dscete-tme systems wth convex polytopc uncetantes, Advances n Dffeence Equatons, vol. 1, pp. 1-14, 212. [21] M. Keman and A. Sakly, On stablty analyss of dscete-tme uncetan swtched nonlnea tme-delay systems, Advances n Dffeence Equatons, vol. 1, pp. 1-22, 214. [22] J.D. Chen, I.Te. Wu, C.H. Len, C.T. Lee, R.S. Chen and K.W. Yu, Robust Exponental Stablty fo Uncetan Dscete-Tme Swtched Systems wth Inteval Tme-Vayng Delay though a Swtchng Sgnal, Jounal of Appled Reseach Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216

85 تحليل پايداری سيستمهای سوئيچشوندۀ خطی گسستهزمان با در نظر گرفتن تاخير زمانی و عدم قطعيت پارامتری Downloaded fom joc.kntu.ac. at 14:46 +43 on Monday Septembe 17th 218 [39] L.X. Zhang, E.K. Boukas and P. Sh, Exponental H flteng fo uncetan dscete-tme swtched lnea systems wth aveage dwell tme: A - dependent appoach, Intenatonal Jounal of Robust and Nonlnea Contol, 18(11), pp. 1188-127, 28. [4] X.M. Sun, J. Zhao and D. J. Hll, Stablty and L2 gan analyss fo swtched delay systems: A delay-dependent method, Automatca, 42(1), pp. 1769-1774, 26. [41] W.A. Zhang and L. Yu, Stablty analyss fo dscete-tme swtched tme-delay systems, Automatca, vol. 45, no. 1, pp. 2265 2271, 29. [42] S. Boyd, L.E. Ghaou, E. Feon and V. Balakshnan, Lnea Matx Inequaltes n System and Contol Theoy, SIAM Studes n Appled Mathematcs, vol. 15, 1994. [43] Cal D. Meye, Matx analyss and appled lnea algeba, Sam, 2. [35] J.P. Hespanha and A.S. Mose, Stablty of swtched systems wth aveage dwell tme, In Poceedngs of the 38th IEEE confeence on decson and contol, pp. 2655-266, 1999. [36] Y. Song, J. Fan, M. Fe and T.C. Yang, Robust H contol of dscete swtched system wth tme delay, Appled Mathematcs and Computaton, 25(1), pp.159-169, 28. [37] H. Tsh and B.A. Fancs, Stablzng a lnea system by swtchng contol wth dwell-tme, IEEE Tansactons on Automatc Contol, 47(2), pp.1962-1973, 22. [38] G.S. Zha, B. Hu, K. Yasuda and A. Mchel, Qualtatve analyss of dscete-tme swtched systems, In Poceedngs of the Amecan contol confeence, pp. 188-1885, 22. Jounal of Contol, Vol. 9, No. 4, Wnte 216